傅里叶积分公式是描述信号在频域和时域之间转换的重要工具。
给定一个函数 $f(t)$，它可以被分解成一系列基函数 $\\mathrm{e}^{i\\omega t}$ 的线性组合，其中 $\\omega$ 是频率。这些基函数的权重由傅里叶变换给出，表示在每个频率上的信号强度。
傅里叶积分公式描述了如何从一个函数 $f(t)$ 得到它的频域表示 $F(\\omega)$：
$$F(\\omega)=\\int_{-\\infty}^\\infty f(t)\\,\\mathrm{e}^{-i\\omega t}\\mathrm{d}t$$
反过来，给定一个在频域上的函数 $F(\\omega)$，可以使用傅里叶逆变换得到它在时域上的表示 $f(t)$：
$$f(t)=\\frac{1}{2\\pi}\\int_{-\\infty}^\\infty F(\\omega)\\,\\mathrm{e}^{i\\omega t}\\mathrm{d}\\omega$$
这两个公式可以用于分析和合成信号，在许多领域中得到广泛应用，包括通信、图像处理、声音合成等。
傅里叶积分公式中的指数函数 $\\mathrm{e}^{i\\omega t}$ 是复数，代表了正弦和余弦函数的线性组合。频域上的函数 $F(\\omega)$ 也是复数，包含了振幅和相位两个方面的信息。在实际应用中，我们通常只关注振幅部分，而忽略相位信息。
傅里叶积分公式中的积分范围是 $-\\infty$ 到 $\\infty$，这意味着函数 $f(t)$ 和 $F(\\omega)$ 都需要满足一定的收敛条件才能使用这个公式。函数需要满足柯西-施瓦茨不等式，以确保积分的收敛性。在实践中，我们常常使用傅里叶变换和逆变换的离散版本，以避免这些问题。
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